偏序关系的定义 1 设R是非空集A上的关系，若R是自反、反对称、传递的，则R称为A上的偏序关系，简称为偏序，记作当 ≤ 。 Any 集合A上的恒等关系、该集合的幂集P(A)上的包含关系、实数集上的小于等于关系、正整数集上的整除关系都是偏序关系。 例如，它是一个偏序集，其中A={1,2,3,4,5}，≤是整除关系。 那么，对于任意x∈A，有1≤x，所以1和1,2,3,4,5具有可比性，但是2不能整除3，3也不能整除2，所以2和3没有可比性。 对于 1 和 2，1 < 2，并且不存在 z ∈ A 使得 1 整除 z 且 z 整除 2，因此，2 覆盖 1。同样，4 覆盖 2，但 4 不覆盖 1，因为 1<2< 4 成立。 显然，如果 x 与 y 不可比，则必定不存在 x 覆盖 y 或 y 覆盖 x 。定义 4 将全序关系设置为偏序集，如果有的话： x, y ∈ A, x 和 y具有可比性，则称为 ≤ A 上的全序关系，称为全序集。 例如，{1,2,3,4,5上的小于等于关系}是全序关系，但除数关系不是全序关系。 示例 1 绘制并
解：哈斯图如图所示。 例2 假设偏序集合的哈斯图如图所示，求集合A≤的偏序。 解 A={a,b,c,d,e , f, g, h>.≤={,,, ,,,,,}∪ IA。 最大元素，最小元素，最大元素，最小元素定义5被设置为偏序集，B ? A. y 是 B 的最小元素：如果 ?y∈B，使得 ?x(x∈B→y≤x) y 是 B 的最大元素：如果 ?y∈B，使得 ?x(xε) B→x≤y) y 是 B 的最小元素：如果 ?y∈B，使得 ?x(x∈B∧x<y) y 是 B 的最大元素：如果 ?y∈B，使得 ?x (x∈B∧y＜x) 上界、下界、上界、下确界 定义6 集合为偏序集合，B?A。 y 是 B 的上界：如果 ?y ∈ A，则 ?x(x ∈ B → x ≤ y ) y 是 B 的下界：如果 ?y ∈ A，则 ? C 的最小元素称为上界 B 的最大下界或下确界：设 D={y|y 为 B 的下界}，则 D 的最大元素称为下确界 练习 P134: 43, 44, 45作业P134: 46 * 定义2 集合A 和A 上的偏序关系R 称为偏序集合，记为。 定义3设为偏序集，对于任意x，y∈A，若x≤y或y≤ x成立，则称x与y可比较，若x<y（即x≤ y∧x≠y)，且不存在 z?A 使得 x
