等价类定义属性 2/497.67.6.17.6.2 哈斯图 7.6.37.6.4 最大元素、最小元素、最大元素、最小元素 7.6.5 上界、下界、最小上界、最大下界 7.6.6 定义实数集R上的二元关系S。对于任意x，R具有自反性、反对称性，并且R具有自反性、反对称性和传递性。 4/49 定义1 设A为非空集，R为A上的二元关系，若R具有自反性、反对称性和传递性，则称R为A上的偏序关系，记为 。 并称 (A,) 是一个偏序集。 如果(x，写xy，读作x“小于或等于”y。R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2 ), (1,3), (1,4), (2,4)} R 是 A 上的偏序关系。在 5/49 上，二元关系 R 定义如下： 对于任意 x, yZ，即，R具有传递性。综上所述，在ρ(A)上建立二元关系R：对于任意x,yρ不难证明(ρ(A),R)也是偏序集。8/49在实数集R上定义一个二元关系S。对于任意x，yR，在实数集R上定义一个二元关系S'。对于任意x，yR，可以证明S'是偏序关系在 R 上。在集合 A 上，偏序关系的恒等关系 I9/49 常用符号“”表示。记为 ab，读作“a 小于或等于 b”。偏序集通常用符号(A,)表示。
10/49 偏序关系“a小于或等于b”并不意味着通常意义上的a小于或等于b。 可以在集合上定义不同的偏序关系，得到不同的偏序集合。 还需要说明的是，偏序集合(A,)包括集合A和集合A上的偏序关系。x(A,)是不允许出现的，并且y必须能够推导出x=z或者y=z，那么我们说y覆盖x。 设R为非空集合A上的偏序关系，覆盖x.12/49={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1, 2) ,(1,3),(1,4),(2,4)} 显然2覆盖13覆盖14覆盖2，但4不覆盖113/)A是有限集，|A|=n。 一个图可以用来表示一个偏序集合（A，），这个图有n个顶点，每个顶点代表A中的一个元素，两个顶点x和y，如果y覆盖x，那么点x在点y下面，并有一条直线连接两点。 哈斯图：使用偏序自反、反对称、传递简化关系图 哈斯图：使用偏序自反、反对称、传递简化关系图 14/49 显然 b 覆盖 a，e 覆盖 ac 覆盖 bd 覆盖 cd 覆盖 e 特征：每个节点没有环，两个相连节点之间的有序关系用节点位置的高度来表示，位置较低的元素顺序在前，具有覆盖关系的两个节点之间连接点之间的边。 16{1,2},{1,5},{3,6},{4,6},{0,3,6},{1,5,8},{0,3,4,6} {1,5}{1,2}{3.6}{4,6}{1,5,8}{0,3,6}{0,3,4,6}18 的哈斯图如图所示如右图所示，尝试找出集合 A 和关系 R 的表达式。 19 注释： 注释： 1. 没有三角形； 2、无水平线段； 3. 尽量减少交叉线。
20/49 设 (A,) 为偏序集。 对于任何 x、xy 或 yx，称 x 与 y 具有可比性，否则称 x 与 y 不可比较。 给定如图所示的部分有序集。 2和1、2和4等都具有可比性，但2和3、3和4不具有可比性。 如果它本身是一条链，则称为全序集，称为全序关系。 大元素.1、最大元素和最小元素 26/49 给出如图所示的偏序集。 在{1, 2}中，1是最小元素，2是最大元素 在{1, 2, 3}中，1是最小元素，2, 3是最大元素 28/49 有限偏序 集合必须有最大元素和最小元素，但不一定有最大元素和最小元素。 有限偏序集必须有最大元素和最小元素，但不一定有最大元素和最小元素。 给定如图所示的部分有序集。 1是最小元素，也是最小元素，3和4是最大元素，没有最大元素。 29/49 (a) 不存在最大元素 (c) (c) 表示的偏序集没有最小元素和最大元素 (b) 和 (d) 表示的偏序集有最小元素和最大元素 最大、最小和最大最小元素查找方法： 1、孤立点。 最大和最小。 如果图中存在孤立点，则一定不存在最大和最小元素。 2、除孤立点外，其他最小元素为图中所有向下路径的端点； 其他最大元素是图中所有向上路径的端点。 3、如果最小元素唯一，则为最小元素； 如果最大元素唯一，则为最大元素； 最小值： 1 最大值： 最小值： 最大值： 无 最小值： 1 最大值： 5, 6, 7, 8, 9 最小值： 1 最大值： 无 最小值： φ 最大值： 最小值： 最大值： 最小值： φ 最大值： {a, b, c } 最小值： φ 最大值： {a, b, c} 32/49 图中给出了所示的偏序集。
h、i、j、k是{f，g}的上界，c、d、a是它们的下界，y是B}的下界，则D中最大的元素称为最大下界或B.35 的下确界/49 示例给出了如图所示的偏序集。 1、上界是B中的元素向上时能够共同到达的，上界中最大的元素就是上界； 2、下界是B中的元素一起往下走所能到达的，下界中最小的元素就是下界。 36 设一个如下图所示的偏序集合，求A的最小元素、最小元素、最大元素、最大元素，画法写出最大、最小元素、最大最小元素的上界从图中可以看出具体的关系，下界和上下界 37
