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“欲看千里，更上一层楼”是唐诗《登鹳雀楼》中的名句。 如果我们从数学的角度来看，我们会觉得这简直就是一个“反函数”。
为什么？
因为我们通常以自己的身高作为自变量来建立高度和视场半径的函数。 但在这首诗中，是先给出视野半径，然后再计算高度。 这不是反函数吗？
一个函数（称为原函数）必须有一个反函数。 其中必要的一点是，原函数必须是一一对应的，否则就会出现问题。 打个比方，大家都知道，但如果你因此而这样想，那就大错特错了。 在前面的唐诗例子中，高度和距离恰好是一一对应的。 如果不是，那么最后一句不一定是“到一个较高的水平”，而可能是“到一个较低的水平”。
一对一对应关系在许多问题中非常重要，例如测量温度时。 制作液体温度计，首先根据温度设定刻度，使用时根据刻度得到温度。 这也是一个反函数。 我们常见的液体温度计使用水银或煤油作为测温物质，为什么不使用水呢？ 当然，水的比热比较大，在测温时会带来（或带走）大量的热量，而且水会渗入玻璃，所以玻璃管不能做得太薄等，但从数学上来说可以说，水的体积和温度并不是一一对应的。 一般来说，虽然水也会热胀冷缩，但在0-4摄氏度时，水“热缩冷胀”。
反函数是典型的“逆向思维”，数学中还有很多其他逆向思维。 从初等数学的角度来看，减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，根是幂的逆运算。 注意，有人认为加法不能说是减法的逆运算，乘法也不能说是除法的逆运算，即两者不是“互为逆运算”。 不知道这个说法是否有道理，记录下来以备将来参考。 （幂是否是平方根的逆运算，我没有找到相关的说法）
我们常见的证明方法“分析法”也是逆向思维的一种。 通常，我们从已知条件开始证明几何问题，从A到B，从这到那，一步步得出结论。 这称为“合成法”。 但分析方法是从结论出发，采用“要证明某个B，只需证明某个A”这样的表述。 有时有些命题不易用综合的方法证明，但可以用分析的方法证明。
又如，解析几何的主要任务有两个，一是从一定条件下得到曲线满足的方程，二是从方程出发研究曲线的性质。 显然，这两个任务是相反的。 而且，求导和积分也是相互的。
有些命题在形式上是逆命题，但证明的难度不一样。 例如，证明等腰三角形的两个底角平分线相等只是初中课后练习的水平，但要证明该三角形是等腰三角形就困难得多。事实上，角平分线相等。 比较著名的例子与哥德巴赫猜想有关：如果要证明两个不等于2的素数相加是偶数，这简直就是小学题目，但如果要证明任何大于2的偶数大于4可以写成两个素数之和，这成为一个世界级的问题。 我曾经思考过这样一个问题，给定多个值，，，...，（这些数字可能相等，也可能不相等），构造一个以这些值为根的多项式方程并不困难，证明这样的多项式是度数很容易，但要证明度数方程恰好有一个根则要困难得多。
事实上，难度差异巨大的“逆”关系远不止这些。 例如，分解大数的质因数比计算两个大数的乘法要困难得多。 据说这是某些密码的数学基础。 上面提到的推导和积分也都是前者比较容易，后者比较困难。
还有一些问题无法以某种方式表述逆问题。 例如物理扩散方程或者热传导方程等，我们可以计算出非均匀系统变成均匀系统需要多长时间（这里的均匀是指在实验精度范围内），以及最终的均匀系统状态是什么，但不能从均匀状态反转到非均匀初始状态。 这里涉及到“熵”，这是科学家们非常感兴趣的一个问题。
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