示例 在四个点 P(1,1)、Q(1,2)、M(2,3) 和 N(2-1,4-1) 中，函数 y = ax 的图像的公共点和其反函数可以是点( )
美联社
贝奇
厘米
DN
【答案】D
对于这道题，很多同学毫不犹豫地选择了A选项。 原因是原函数和反函数的图形的交点一定在图形的直线 y = x 上，但事实并非如此。 若a=16-1，在同一平面的直角坐标系中画出y=(16-1)x和y=log16-1x的图像如下，可以看到它们有3个交点，并且item D 是交点之一。
另外，验证时不能改变函数的解析式，只需交换点的坐标即可，点P和Q显然是不可能的，因为loga 1 = 0，不可能得到1或2，接下来验证点N是否正确。 假设N(2-1,4-1)在y=ax图像上，∴4-1=a½可得(4-1)½=(2½)½，∴2-1=a¼，即4-1 = loga2-1，说明(2-1,4-1)在y = loga x的图像上，所以N是公共点。
这就给同学们提出了两个问题：
(1) 为什么原函数和反函数图像的交点不都在对称轴 y = x 上？
（2）从课本上给出的相关图像，应该只能知道对称轴y=x上的交点。 为什么结果不正确？
根据函数和反函数的图性质，交集问题遵循以下规则：
定理1 y = f (x) 和y = f-1 (x) 的图形关于直线y = x 对称。
定理2 若y=f(x)在其域上是连续函数，则y=f(x)与y=f -1(x)交集的充要条件是y=f(x)的像x) 与直线 y=x 有一个交点。
证明：“必然性”假设y=f(x)和y=f -1(x)的图像有交点(a,b)。 若a=b，则命题显然成立； 若a ≠ b，否 假设a < b，由b = f(a)和b = f -1(a)得到a = f-1(b)，且a = f(b)，即点( b, a) 也是 y = f (x) 和 y = f-1 (x) 图的交集。
且y=f(x)在[a,b]上连续，设g(x)=f(x)－x，则g(x)在[a,b]上连续，且g(a)=f (a)－a = b－a > 0, g (b)= f (b)－b = a－b < 0。根据根存在定理，存在 x0 ∈ (a,b)，使得 g (x0 )=0，即f(x0)=x0，所以y=f(x)的图像与直线y=x有交点(x0,x0)。
“充分性”假设y=f(x)的图像与直线y=x有交点(a,a)。 则f(a)=a，即f -1(a)=a，那么点(a,a)也在y=f-1(x)的图像上，所以点(a,a ) 是它们的交点。
定理3 如果y=f(x)是严格单调递增函数，那么如果y=f(x)的像与其反函数y=f-1(x)之间存在交点，则交点必须在直线 y = x 上。
证明：设P(a,b)为它们的交点之一，定理2证明已知点Q(b,a)也是它们的交点之一，则a=f(b)且b=f(a) 。 假设a≠b，不阻止a<b，因为y=f(x)是严格单调递增函数，f(a)<f(b)，则b<a，矛盾。 所以只有a=b。 即，严格单调递增 函数与其反函数的图形交点必须在直线 y = x 上。
定理4 如果原函数是单调递减函数，且y=f(x)与y=f-1(x)的像存在交点，则交点可能不在直线y上= x，如果在直线 y = x 之外，如果有交点，则交点成对出现，以直线 y = x 为对称轴。
证明：设点Q(x0,y0)为函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)像的交点，则有
f(x0) = y0 (1)
f -1 (x_0) = y0 =f (y0)x0 (2)
当x0=y0时，有f(x0)=f(y0)=x0，即点Q(x0,y0)在直线y=x上；
当x0≠y0时，设P(y0,x0)为Q(x0,y0)关于直线y=x的对称点，则有
x0 = f(y0) (3)
x0 = f -1 (y0) (4)
根据(3)和(4)，点P(y0,x0)是函数y = f(x)和y = f -1 (x)的图像的交点。 即，由直线y=x画出的不在直线y=x上的交点是一对对称轴。
根据上述定理，求原函数与其反函数图像交点的一般方法：
①如果y=f(x)是严格单调递增函数，则将y=f(x)与y=x组合即可得到交点；
②如果y=f(x)是单调递减函数，那么交点可以结合y=f(x)和y=-x+m（其中m=x1+x2=x1+y1=y2+x2）求得出非线性 y = x 上的成对对称交点。
